紧性的深入研究

smiling
数学分析（二）小论文
2025.2

摘要

本文深入探讨紧性这一重要数学概念，详细梳理其历史渊源，从 Fréchet 的最初定义到不同数学家的观点及术语建议，展现紧性概念的演变。在拓扑空间范畴内，严格定义紧性、列紧、极限点紧等多种紧性概念，给出紧集的具体例子，分析它们之间的关系，并从闭集、基和子基等角度刻画紧性，研究紧集在连续映射、子空间以及与 Hausdorff 性质相关的性质。进一步在度量空间中，探讨度量空间的拓扑与非拓扑性质，证明紧性、列紧性、极限点紧性等多种紧性的等价性，对于紧性这一性质进行了深入的讨论。

一、引言

需要注意的是，由于在叙述过程中可能会用到许多拓扑学以及泛函分析中的概念，考虑到作为数学分析课程的论文，许多概念并不在本课程中出现或者不是主要内容，我们为大部分新出现的概念提供简要的定义。为简洁起见，对于部分概念，我们在使用时再对其做简要的说明，而不在开头给出所有概念的定义。

二、紧性的历史

“compact“这个术语由Maurice René Fréchet （1878-1973）引入，在期刊Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo的第22卷第6页中，他写道：

“Nous dirons qu'un ensemble est compact lorsqu'il ne comprend qu'un nombre fini d'éléments ou lorsque toute infinité de ses éléments donne lieu à au moins un élément limite.”

(译文：我们的整体结构是紧致的，无法理解最终的元素，或者是无限的元素，但可以在有限的元素中加以理解。)

在其1906年的假说中，Fréchet写道：

“A set E is called compact if, when {  } is a sequence of nomempty, closed subsets of E such that   is a subset of for each n, there is at least one element that belongs to all of the  's.”

(译文：对于一个集合E ，当 { } 是 E 的一系列非空闭子集，且这些非空闭子集使得对于每一个n ，都有 是 的一个子集时，至少有一个元素属于整个非空闭子集序列 ，则集合 E 为紧的。)

但在 Fréchet 生命的最后时刻，他却不记得为什么要选这个术语：

“... jai voulu sans doute éviter quón puisse appeler compact un noyau solide dense qui nést agrémenté que dún fil allant jusqúà ĺinfini. Cést une supposition car j́ai complétement oubliè les raisons de mon choix!”

(译文：毫无疑问，我想避免将具有单线且延伸到无穷的坚固密集核称为紧致。这是一个假设，因为我已经完全忘记了我选择的原因！)

一些数学家不喜欢“紧(compact)”这个词。 Schönflies (即，德国数学家 Arthur Moritz Schoenflies )建议将 Fréchet 所谓的“紧致性”称为“lückenlos”(无缝的，或者，无间隙的)或“abschliessbar”(可闭合的)(Taylor，第 266 页)。

Fréchet提出的“紧致性”对应的是现代的“相对顺序紧致性(relatively sequentially compact)”，他的“极值(extremal)”是今天的“顺序紧凑(sequentially compact)”（Kline，第 1078 页）。

紧致性也可见于 Paul Alexandroff 和 Paul Urysohn的“关于紧致拓扑空间的回忆录”(荷兰皇家科学院(Koninklijke Nederlandse Akademie van Vetenschappen te)数学科学部分的论文集 (1929))。

三、拓扑空间的各种紧性

下面，我们正式开始对拓扑空间的紧性做分析研究。首先，我们简要地给出拓扑以及拓扑空间的概念：

定义 (拓扑空间)：给定集合 $X$ 和它的一个子集族 $\mathcal{O}\subseteq P(X)$ ，如果 $\mathcal{O}$ 满足下列3个条件 $O1\sim O3$ ，则把 $\mathcal{O}$ 叫作 $X$ 上的拓扑， $\mathcal{O}$ 中的每个集合叫作 $X$ 的开集，并把 $(X,\mathcal{O})$ 叫作拓扑空间。

• $O1$ ： $\emptyset\in\mathcal{O},X\in \mathcal{O}$ 。
• $O2$ ：如果 $U_1,U_2\in\mathcal{O}$ ，那么 $U_1\cap U_2\in \mathcal{O}$ 。
• $O3$ ：设 $\Lambda$ 为指标集，如果集族 $\left\{ U_\lambda|\lambda\in\Lambda\right\}\subseteq\mathcal{O}$ ，那么 $\bigcup_{\lambda\in\Lambda}U_\lambda\in \mathcal{O}$ 。

拓扑空间虽然用符号 $(X,\mathcal{O})$ 来表示，但通常情况下 $X$ 上的拓扑 $\mathcal{O}$ 是固定的或默认的，此时也可以简单地说“拓扑空间 $X$ ”。

3.1 紧性的定义与例子

3.1.1 紧性的表现形式

在数学分析中，我们对于紧性、列紧等的研究主要集中于欧式空间，下面我们从欧式空间中的紧性出发，研究更一般的空间中的紧性的定义。我们可以将集合的紧致性视为数学分析中“最接近有限性的东西”。它允许我们用有限(不一定脱离)片段来描述可能(通常是)不可数的集合。即，对于一个集合$K\subseteq \R$ ，当且仅当其是闭的且有界时，我们称其是紧集。当然，这是一种描述性的定义，且仅仅在某些情况下是成立的。下面，我们严格地定义它。

3.1.2 紧性的各种定义

在欧氏空间中，“紧”、“列紧”和“有界闭”是等价的，这些都可以称作紧性的不同表现形式。然而在拓扑空间中，由于没有距离的概念，我们并没有“有界闭”这样的概念 。下面我们把这些紧性的表现形式推广到一般的拓扑空间，由于在拓扑空间中这些概念并不等价，所以我们会得到不同的紧性概念。人们一般把Heine - Borel定理出来作为“标准”紧性的定义，而把其他性质抽象出来叫做“某某紧性” 。

我们先给出一些在拓扑空间中关于覆盖的定义，这些定义与欧式空间中的理念相似，但由于空间的改变，叙述方式会有一定的变化：

定义 (覆盖)：设 $(X, \mathscr{T})$ 为拓扑空间， $A \subset X$ 为子集。

(1)若子集族 $\mathscr{U}=\{U_{\alpha}\}$ 满足 $A \subset \cup _{\alpha} U_{\alpha}$ ，则称 $\mathscr{U}$ 为 $A$ 的一个覆盖。
(2)若覆盖 $\mathscr{U}$ 是有限族，则称 $\mathscr{U}$ 为一个有限覆盖。
(3)若覆盖 $\mathscr{U}$ 中的元素 $U_{\alpha}$ 都是开集，则称 $\mathscr{U}$ 为一个开覆盖。
(4)若 $\mathscr{U}$ ， $\mathscr{V}$ 都是覆盖，且 $\mathscr{V} \subset \mathscr{U}$ ，则称覆盖 $\mathscr{V}$ 是覆盖 $\mathscr{U}$ 的子覆盖。
(5)若 $\mathscr{U}$ ， $\mathscr{V}$ 都是覆盖，且对任意 $V \in \mathscr{V}$ ，都存在 $U \in \mathscr{U}$ 使得 $V \subset U$ ，则称覆盖 $\mathscr{V}$ 为覆盖 $\mathscr{U}$ 的加细。

通过上面的覆盖的一般定义下面定义拓扑空间中不同的紧性概念：

定义 (三种不同的紧性)：设 $(X, \mathscr{T})$ 为拓扑空间。

(1)如果 $X$ 的任意开覆盖 $\mathscr{U}=\{U_{\alpha}\}$ 都有有限子覆盖，即存在 $\mathscr{U}$ 中有限个集合 $\{U_{\alpha_{1}}, U_{\alpha_{2}}, \cdots, U_{\alpha_{k}}\}$ 使得 $X=\cup _{i = 1}^{k} U_{\alpha_{i}}$ ，则我们称 $X$ 是紧的。
(2)如果 $X$ 中任意点列 $x_{1}, x_{2} \cdots \in X$ 都有收敛子列 $x_{n_{1}}, x_{n_{2}}, \cdots \to x_{0} \in X$ ，则我们称 $X$ 是序列紧或者列紧的。
(3)如果 $X$ 中的任意无限子集 $S$ 都有极限点，则我们称 $X$ 是极限点紧的。
(4)设 $A \subset X$ 是一个子集，如果 $(A, \mathscr{T}_{subspace})$ 在子空间拓扑下是紧的/列紧的/极限点紧的，那么我们说 $A$ 是 $X$ 中的紧集/列紧集/极限点紧集。

命题 (紧子集的刻画)：拓扑空间 $X$ 中的子集 $A$ 是紧子集当且仅当：对 $X$ 中的任意满足 $A \subset \cup _{\alpha} U_{\alpha}$ 的开集族 $U = \{U_{\alpha}\}$ ，都存在有限子族 $U_{\alpha_{1}}, \cdots, U_{\alpha_{k}} \in U$ 使得 $A \subset \cup _{j = 1}^{k} U_{\alpha_{j}}$ 。

3.1.3 紧集的例子

我们给出紧集的一些例子：

(1) 回到欧氏空间 $\mathbb{R}^{n}$ 中，我们有

$有界闭 \Leftrightarrow 紧 \Leftrightarrow 列紧 \Leftrightarrow 极限点紧$

，这在数学分析的学习中已然证明，这里不再做过多介绍。
(2) 考虑赋以余有限拓扑的拓扑空间 $(X, \mathscr{T}_{cofinite})$ （ $\mathscr{T}_{cofinite}$ 由 $X$ 的所有有限子集的补集以及空集构成），则：

• $X$ 是紧的：设 $X \subset \cup _{\alpha} U_{\alpha}$ 。任取 $\alpha_{1}$ 。由于 $U_{\alpha_{1}}$ 是开集，因此它的补集 $X \setminus U_{\alpha_{1}}$ 是有限集，于是可以在 $\mathscr{U}$ 中选取有限多个集合来覆盖它。
• $X$ 也是列紧的：若序列 $x_{1}, x_{2}, \cdots$ 中没有点出现无限次，那么整个序列会收敛到任意一点；若该序列中至少有一个点出现无限次，那么我们就得到一个由该点组成的“常值”子序列。
• $X$ 也是极限点紧的：若 $S \subset X$ 是无限集，则对 $X$ 中任意开集 $U$ 都有 $U \cap S \neq \emptyset$ ，故 $S' = X$ 。

3.1.4 各种紧性的关系

不难看出“极限点紧”是三者中最弱的：

命题 (紧，序列紧 $\Rightarrow $ 极限点紧)：设 $X$ 为任意拓扑空间。若 $X$ 是紧的或是列紧的，则 $X$ 是极限点紧的。

证明：先设 $X$ 是紧集。若 $S \subset X$ 且 $S$ 没有极限点，则 $S$ 是闭集，因为 $S' = \emptyset \subset S$ 。对于任意 $a \in S$ ，因为 $a \notin S'$ ，故存在开集 $U_{a} \subset X$ 使得 $S \cap U_{a} = \{a\}$ 。于是 $\{S^{c}, U_{a} | a \in S\}$ 是 $X$ 的一个开覆盖。根据紧性，存在 $a_{1}, \cdots, a_{k} \in S$ 使得

$X = S^{c} \cup (\bigcup_{i = 1}^{k} U_{a_{i}})$

。由此可知

$S = S \cap X = (\bigcup_{i = 1}^{k} U_{a_{i}}) \cap S = \{a_{1}, \cdots, a_{k}\}$

是一个有限子集。

再设 $X$ 是列紧的且 $S \subset X$ 是任意无限集。任取无限序列 $\{x_{1}, x_{2}, \cdots\} \subset S$ 使得对任意 $i \neq j$ ，都有 $x_{i} \neq x_{j}$ 。由列紧的定义，存在子列

$x_{n_{1}}, x_{n_{2}}, \cdots \to x_{0} \in X$

于是

$x_{0} \in \{x_{n_{1}}, x_{n_{2}}, \cdots\}' \subset \{x_{1}, x_{2}, \cdots\}' \subset S'$

所以 $S' \neq \emptyset$ 。$\square$

这里，我们只研究了

$紧，序列紧 \Rightarrow 极限点紧$

这一个关系，在后面的内容中我们将会继续看到，各种紧性之间还有其他的关系。下面，我们先对于紧性这一性质给出其他几种刻画的方式。

3.1.5 紧性的刻画方式

（1）用闭集刻画紧性

我们可以将紧集的原始开覆盖定义转换为用闭集给出的等价定义：

$X = \cup_{\alpha} U_{\alpha}, U_{\alpha}为开集 \Rightarrow \exists U_{\alpha_{i}}, X = \cup_{i = 1}^{k} U_{\alpha_{i}} \\\Leftrightarrow \emptyset = \cap_{\alpha} F_{\alpha}, F_{\alpha}为闭集 \Rightarrow \exists F_{\alpha_{i}}, \emptyset = \cap_{i = 1}^{k} F_{\alpha_{i}} \\\Leftrightarrow 对任意有限族\{F_{\alpha_{1}}, \cdots, F_{\alpha_{k}}\}都有\cap _{i = 1}^{k} F_{\alpha_{i}} \neq \emptyset \Rightarrow \cap_{\alpha} F_{\alpha} \neq \emptyset$

所以我们得到：
命题 (用闭集刻画紧性：有限交性质)：一个拓扑空间 $X$ 是紧的当且仅当它满足以下性质（称为有限交性质）：

如果 $\mathscr{F}=\{F_{\alpha}\}$ 是任意一族闭集，且任意有限交集

$F_{\alpha_{1}} \cap \cdots \cap F_{\alpha_{k}} \neq \emptyset$

，则 $\cap_{\alpha} F_{\alpha} \neq \emptyset$ 。

推论 (闭集套定理)：设 $X$ 是紧的，且

$X \supset F_{1} \supset F_{2} \supset \cdots$

是非空闭集的降链，则 $\cap _{n = 1}^{\infty} F_{n} \neq \emptyset$ 。

（2）用基和子基刻画紧性

因为开集可以由基里的元素生成，所以很自然地，可以通过“基覆盖”来刻画紧性：

命题 (用拓扑基刻画紧性)：设 $B$ 是 $(X, \mathscr{T})$ 的一个拓扑基（即，拓扑$\mathscr{T}$ 中的每个开集都可以表示为 $B$ 中某些元素的并集），则 $X$ 是紧的当且仅当 $X$ 的任意基覆盖 $\mathscr{U} \subset B$ 都存在有限子覆盖。

证明：设 $X$ 是紧的，且 $\mathscr{U} \subset B$ 是 $X$ 的一个基覆盖，则 $\mathscr{U}$ 也是 $X$ 的一个开覆盖，从而存在有限子覆盖。

反之，设 $X$ 的任意基覆盖都存在有限子覆盖，而 $\mathscr{U}$ 是 $X$ 的任意开覆盖。由拓扑基的定义（拓扑基中的元素构成的覆盖），对于任何 $x \in X$ ，都存在 $U^{x} \in \mathscr{U}$ 和 $U_{x} \in B$ 使得 $x \in U_{x} \subset U^{x}$ 。

由于 $\{U_{x}\}$ 是 $X$ 的基覆盖，所以存在 $U_{x_{1}}, \cdots, U_{x_{m}}$ 使得 $X=\cup _{i = 1}^{n} U_{x_{i}}$ 。因此对于

$U^{x_{1}}, \cdots, U^{x_{n}} \in \mathscr{U}$

，我们有 $X=\cup _{i = 1}^{n} U^{x_{i}}$ ，即 $X$ 是紧的。$\square$

3.2 紧集的性质

3.2.1 紧性和连续映射

对于紧和列紧，相对于极限点紧，有着更好的性质，体现如下：

命题 (紧与列紧的不变性)：设 $f: X \to Y$ 是连续映射（即，$Y$ 中每个开集的原像在 $X$ 中也是开集）。
(1)如果 $A \subset X$ 是紧集，则 $f(A)$ 在 $Y$ 中也是紧集。
(2)如果 $A \subset X$ 是列紧集，则 $f(A)$ 在 $Y$ 中也是列紧集。

证明：(1) 设 $A$ 是紧集。给定 $f(A)$ 的任意开覆盖 $\mathscr{V} = \{V_{\alpha}\}$ ，其原像 $\mathscr{U} = \{f^{-1}(V_{\alpha})\}$ 是 $A$ 的一个开覆盖。根据 $A$ 的紧性，存在 $\alpha_{1}, \cdots, \alpha_{k}$ 使得 $A \subset \cup _{i = 1}^{k} f^{-1}(V_{\alpha_{i}})$ 。因此 $f(A) \subset \cup _{i = 1}^{k} V_{\alpha_{i}}$ ，即 $f(A)$ 也是紧集。
(2)对 $f(A)$ 中的任意点列 $y_{1}, y_{2}, \cdots$ ，存在 $A$ 中的点列 $x_{1}, x_{2}, \cdots$ 使得 $f(x_{i}) = y_{i}$ 。因为 $A$ 是列紧的，所以存在收敛子列 $x_{n_{1}}, x_{n_{2}}, \cdots \to x_{0} \in A$ 。又因为 $f$ 是连续映射，所以 $y_{n_{1}}, y_{n_{2}}, \cdots \to f(x_{0}) \in f(A)$ 。所以 $f(A)$ 是列紧集。$\square$

然而，极限点紧的空间在连续映射下的像集不一定是极限点紧的。

由于 $\mathbb{R}$ 中的子集（在通常的拓扑下）是紧的当且仅当它是列紧的，也当且仅当它是有界闭的，我们立即得到：

推论 (最值性质)：设 $f: X \to \mathbb{R}$ 为任意连续映射。如果 $A \subset X$ 在 $X$ 中是紧的或列紧的，则 $f(A)$ 在 $\mathbb{R}$ 中有界，且存在 $a_{1}$ ，$a_{2} \in A$ 使得 $f(a_{1}) \leq f(x) \leq f(a_{2})$ 对于所有 $x \in A$ 都成立。

3.2.2 紧空间的子空间

如果想从已有的紧空间甚至非紧空间构造新的紧空间，我们就可以考虑紧空间的子空间，下面的命题提供了紧集的子集的紧性，这被形象的称为“闭遗传性”：

命题 (紧集的闭遗传性)：设 $A$ 是拓扑空间 $X$ 的闭子集。
(1)如果 $X$ 是紧集，则 $A$ 也是紧集。
(2)如果 $X$ 是列紧集，则 $A$ 也是列紧集。
(3)如果 $X$ 是极限点紧集，则 $A$ 也是极限点紧集。

证明：(1)设 $\mathscr{U}$ 是 $A$ 的开覆盖，则 $\mathscr{U} \cup \{A^{c}\}$ 是 $X$ 的开覆盖，故存在有限子覆盖 $U_{1}, \cdots, U_{m}, A^{c}$ ，于是 $A \subset U_{1} \cup \cdots \cup U_{m}$ ，即 $\{U_{1}, \cdots, U_{m}\}$ 是 $\mathscr{U}$ 的有限子覆盖。
(2) $A$ 中的任意点列 $x_{1}, x_{2}, \cdots$ 也是 $X$ 中的点列，因此存在收敛子列 $x_{n_{k}} \to x_{0} \in X$ 。因为 $A$ 是闭集，所以 $x_{0} \in A$ 。
(3) 设 $S$ 是 $A$ 的无限子集，则在 $X$ 中有 $S' \neq \emptyset$ 。又 $S' \subset A' \subset A$ ，所以在 $A$ 同样有 $S' \neq \emptyset$ 。$\square$

3.2.3 紧性和Hausdorff性质

上面我们看到，紧集的闭子集是紧集，但是，一个紧集的紧子集不一定是闭集。之前举出的例子 $(X, \mathscr{T}_{trivial})$ 便是反例：这是一个是紧空间，而且它的任意子集都是紧集，但除了 $X$ 和 $\emptyset$ 外其它子集都不是闭集。下面我们给出Hausdorff性质的定义，它和紧性有一定的关联。

定义 (Hausdorff性质)：设 $(X, \mathscr{T})$ 是拓扑空间。如果对于任意 $x_{1} \neq x_{2} \in X$ 都存在开集 $U_{1} \ni x_{1}$ 和 $U_{2} \ni x_{2}$ ，使得 $U_{1} \cap U_{2} = \emptyset$ ，则我们称 $X$ 是Hausdorff空间。

根据定义，容易推得：

命题：在Hausdorff空间中，任何收敛序列的极限是唯一的。

尽管紧性和Hausdorff性质看起来完全不同，但它们在以下的意义下彼此“对偶”：

命题 (紧性与Hausdorff性的对偶)：

(1)如果 $(X, \mathscr{T})$ 是紧空间，则
(a) $X$ 中的闭子集都是紧集。
(b)如果 $\mathscr{T}' \subset \mathscr{T}$ ，则 $(X, \mathscr{T}')$ 是紧空间。
© $(X, \mathscr{T}_{trivial})$ 总是紧空间。

(2)如果 $(X, \mathscr{T})$ 是Hausdorff空间，则
(a) $X$ 中的每个紧子集都是闭集。
(b) 如果 $\mathscr{T}' \supset \mathscr{T}$ ，则 $(X, \mathscr{T}')$ 是Hausdorff空间。
© $(X, \mathscr{T}_{discrete})$ 总是Hausdorff空间。

证明：我们已经证明了(1)(a)。

下面简单证明(2)(a)，其他部分是简单的：

设 $A \subset X$ 是紧集，$x_{0} \in X \setminus A$ 。由Hausdorff性质，对任意 $y \in A$ 存在开集 $U_{y} \ni x_{0}$ 和 $V_{y} \ni y$ 使得 $U_{y} \cap V_{y} = \emptyset$ 。因为 $A \subset \cup_{y \in A} V_{y}$ ，所以由紧性，存在 $y_{1}, \cdots, y_{m}$ 使得 $A \subset V_{y_{1}} \cup \cdots \cup V_{y_{m}}$ 。于是

$U_{y_{1}} \cap \cdots \cap U_{y_{m}} \subset X \setminus (V_{y_{1}} \cup \cdots \cup V_{y_{m}}) \subset X \setminus A$

，从而 $X \setminus A$ 是开集，即 $A$ 是闭集。$\square$

Hausdorff性质还有其他的一些衍生命题，但此处我们介绍这个性质很大程度上是为了为下一部分——度量空间做铺垫，所以对此不做过多介绍。

三、度量空间中的紧性

4.1 度量空间的拓扑与非拓扑性质

4.1.1 度量空间的一些拓扑性质

我们在数学分析中已经学习过部分度量空间的知识。下面不再列出其基本定义等内容。

设 $(X, d)$ 为度量空间，其上的度量拓扑 $\mathscr{T}_{d}$ 由基

$\mathcal{B}=\{B(x, r) | x \in X, r \in \mathbb{R}_{>0}\}$

生成。与一般拓扑空间相比，度量空间有许多很好的性质：

• (a) 任意度量空间是第一可数（即，对于空间中每一个点 $x$ ，都有一个可数的邻域基，邻域基是指每个 $U_n$ 都是 $x$ 的邻域；

  对任意包含 $x$ 的开集 $V$ ，存在某个 $U_n$ 满足 $U_n\subset V$。）的，因为对任意 $x \in X$ ，都存在可数邻域基

  $\mathcal{B}_{x}=\{B(x, r) | r \in \mathbb{Q}_{>0}\}$

  ，直接验证可得其正确性。 由此我们得到：

  • $F\subset X$ 是闭集当且仅当 $F$ 包含其所有的序列极限点。

  • 对于任意拓扑空间 $Y$ ，映射 $f:X\to Y$ 是连续的当且仅当 $f$ 是序列连续（在 $X$ 中的任意收敛于 $x$ 的序列通过该映射收敛至 $f(x)$ ）的。

• (b) 任意度量空间是Hausdorff的，因为对任意 $x \neq y \in X$ ，取 $\delta = d(x, y) / 2 > 0$ ，则 $B(x, \delta) \cap B(y, \delta) = \varnothing$ 。 由此我们得到：

  • 度量空间中的紧集都是闭集。特别地，任意单点集 $\{x\}$ 是闭集。

  • 度量空间中的任意收敛点列有唯一的极限。

• © 由第一可数性以及Hausdorff性质可得：

  命题 (度量空间中列紧集是闭集)： 度量空间 $X$ 中的任何列紧集都是闭集。

  证明：设 $F \subset X$ 是一个列紧集。则对 $F$ 中的任意收敛点列 $x_{n}$ ，由Hausdorff性质知 $X$ 中存在唯一的 $x_{0}$ 使得 $x_{n} \to x_{0}$ 。由列紧性知 $x_{0} \in F$ 。于是 $F$ 包含其所有序列极限点。故 $F$ 是闭集。$\square$

  这个性质只在度量空间中生效，是因为我们运用到了度量空间的Hausdorff性质，而仅由第一可数性不能推出列紧集是闭集，比如 $(X, \mathscr{T}_{trivial })$ 。

• (d) 在度量空间中，我们不仅可以通过不相交的开集“分离”不同的点，而且我们还可以通过不相交的开集“分离”不相交的闭集：

  命题 (度量空间的正规性)： 对于度量空间 $X$ 中的闭集 $A$ ，$B$ ，若 $A \cap B = \varnothing$ ，则存在 $X$ 中的开集 $U$ ，$V$ 使得 $A \subset U$ ，$B \subset V$ 且 $U \cap V = \varnothing$ 。

  证明：一种可行的方案是使用Urysohn引理，我们这一采用直接构造的方案证明。

  对每个点 $ a\in A$ ，定义其到闭集 $B$ 的距离为 $d(a , B) = inf_{b\in B}{d(a , b)}$ 。由于 $A$ 与 $B$ 是闭集且不相交，对任意 $a \in A$ ， 有 $d(a , B) > 0$ 。类似可以对 $b \in B$ 定义 $d(b , A)$ 。

  构造开集

  $U=\cup_{a\in A}B\left(a,\frac{d(a,B)}{2}\right),V=\cup_{b\in B}B\left(b,\frac{d(b,A)}{2}\right)$

  ，容易看出，$U$ 和 $V$ 包含 $A$ 和 $B$ 且二者不相交，否则由三角不等式产生矛盾。这样我们就证明了正规性。$\square$

4.1.2 度量空间的有界性

度量空间 $(X, d)$ 中子集有直径和有界性的概念：

$diam(A) = \sup \{ d(x, y) | x, y \in A \} \ (\leq +\infty)$

直径和有界性不是拓扑概念：如果将一个度量更改为另一个与之拓扑等价的度量，则直径可能会发生变化，有界集可能会变为无界集。然而，很容易看出：

命题 $(X, d)$ 中的任何紧/列紧子集都是有界闭的。

证明：我们已经证明了度量空间中紧集/列紧集是闭集。另一方面，如果 $A \subset X$ 是无界集，则取定任意一点 $x_{0} \in X$ ，我们有：

• ${ B(x_{0}, n) }_{n} $ 是 $A$ 的一个开覆盖，但没有有限子覆盖。

• $A$ 中存在一列元素 $x_{n}$ 满足 $d(x_{n}, x_{0}) \to \infty$ ，于是该序列没有收敛子列。

  故任何无界集既不是紧的，也不是列紧的。$\square$

下面我们给出几个非紧的有界闭子集，以论证有界闭和紧性的不等价性：

(1) $(\mathbb{N}, d_{discrete })$ ，这个例子在数学分析课上有所提及，这里再予列出，以使论述更加完备。

$d_{discrete}(x , y) = \begin{cases}0,&if \ \ x = y\\ 1,&if\ \ x \neq y\end{cases}$

$(\mathbb{N}, d_{discrete })$ 在 $(\mathbb{N}, d_{discrete })$ 中是有界闭的，但不是紧的。

(2) $(\mathbb{R}, \frac{d}{d + 1})$ 在 $(\mathbb{R}, \frac{d}{d + 1})$ 中是有界闭的，但不是紧的。

(3) $((0,1], d_{Euclidian })$ 在 $((0, +\infty), d_{Euclidian })$ 中是有界闭的，但不是紧的。

4.1.3 度量空间的完全有界性

上面的例子体现了有界性较弱的地方，下面我们对其进行加强，加强后的有界成为完全有界。

定义 (完全有界性)： 设 $(X, d)$ 是度量空间。如果对任意 $\varepsilon > 0$ ，都存在有限多个半径为 $\varepsilon$ 的球覆盖 $X$ ，则我们称 $X$ 是完全有界的。

也可以说，度量空间 $(X, d)$ 是完全有界的当且仅当对任意 $\varepsilon > 0$ 存在有限集 $\{x_{1}, \cdots, x_{n(\varepsilon)}\}$ 满足：

$\forall y \in X$ ，存在 $1 \leq i \leq n(\varepsilon)$ 使得 $d(x_{i}, y) < \varepsilon$ 。

定义 ( $\varepsilon$-网)： 设 $N$ 是度量空间 $(X, d)$ 中的一个点集。如果它满足：

$\forall y \in X , 存在 x \in N 使得\ \ d(x, y) < \varepsilon$

，则我们称 $N$ 为一个 $\varepsilon$-网。如果一个 $\varepsilon$-网是有限集，则我们称之为一个有限 $\varepsilon$-网。

所以根据定义，我们有：

命题 (完全有界 $\Leftrightarrow$ 有限 $\varepsilon$-网)： 一个度量空间 $X$ 是完全有界的当且仅当对于任意 $\varepsilon > 0$ ，$X$ 中都存在有限 $\varepsilon$-网。

事实上，对于度量空间，紧性蕴含完全有界性：

命题 (紧性 $\Rightarrow$ 完全有界性)： 如果度量空间 $(X, d)$ 是紧的/列紧的，那么它是完全有界的。

证明：若度量空间 $(X, d)$ 是紧的，那么它必然也是完全有界的，因为对于任意 $\varepsilon > 0$ ，集族 $\{ B(x, \varepsilon) | x \in X \}$ 是 $X$ 的开覆盖，必有一个有限的子覆盖。

若 $(X, d)$ 是列紧的，反设存在 $\varepsilon > 0$ 使得 $X$ 不能被有限多个 $\varepsilon$ 球覆盖。任取 $x_{1} \in X$ ，由于 $X \setminus B(x_{1}, \varepsilon) \neq \varnothing$ 可以取到 $x_{2} \in X \setminus B(x_{1}, \varepsilon)$ 。归纳地我们可以找到 $x_{1}, x_{2}, \cdots$ 使得

$x_{n} \in X \backslash \bigcup_{i = 1}^{n - 1} B(x_{i}, \varepsilon), \forall n$

。于是我们得到一个点列 $\{x_{n}\}$ ，满足

$d(x_{n}, x_{m}) > \varepsilon, \forall n \neq m$

。所以 $\{x_{n}\}$ 没有收敛子列。矛盾。$\square$

4.1.4 Lebesgue数引理

另一个非常有用的度量性质是Lebesgue数引理。我们在数学分析中已经学过该引理。现在我们在度量空间中再论述一遍：

命题(Lebesgue数引理)： 如果 $(X, d)$ 是列紧的，那么对于 $X$ 的任意开覆盖 $\mathscr{U}$ ，存在 $\delta > 0$ ，使得对于任意满足 $diam(A) < \delta$ 的子集 $A \subset X$ ，都存在 $U \in \mathscr{U}$ 使得 $A \subset U$ 。

这样的正实数 $\delta$ 被称为覆盖 $\mathscr{U}$ 的Lebesgue数。

证明：反证法。设 $\mathscr{U}$ 是 $X$ 的开覆盖，且对于任意 $n \in \mathbb{N}$ ，存在 $C_{n} \subset X$ 满足 $diam(C_{n}) < \frac{1}{n}$ 但 $C_{n}$ 不包含在任何 $U \in \mathscr{U}$ 中。我们在每个 $C_{n}$ 中取一个点 $x_{n}$ ，从而得到 $X$ 中的一个点列 $ {x_{n}}$ 。由于 $(X, d)$ 是列紧的，存在一个子列 $x_{n_{k}} \to x_{0} \in X$ 。又因为 $\mathscr{U}$ 是 $X$ 的开覆盖，所以可以找到 $U \in \mathscr{U}$ 使得 $x_{0} \in U$ 。现在我们选取 $\varepsilon_{0} > 0$ 使得 $B(x_{0}, \varepsilon_{0}) \subset U$ ，然后选取 $n_{k}$ 使得

$\frac{1}{n_{k}} < \frac{\varepsilon_{0}}{2}\ 且\ d(x_{n_{k}}, x_{0}) < \frac{\varepsilon_{0}}{2}$

。由此可得

$C_{n_{k}} \subset B(x_{n_{k}}, \frac{1}{n_{k}}) \subset B(x_{0}, \varepsilon_{0}) \subset U$

，矛盾！ $\square$

4.1.5 度量空间的完备性

定义 (Cauchy列)： 设 $\{x_{n}\}$ 是度量空间 $(X, d)$ 中的序列。如果对于任何 $\varepsilon > 0$ ，存在 $N > 0$ 使得

$d(x_{n}, x_{m}) < \varepsilon, \forall n, m > N$

，则我们称 $\{x_{n}\}$ 为一个Cauchy列。

就像欧氏空间的情况一样，用三角不等式很容易证明：

引理 (收敛列都是Cauchy列): 度量空间 $(X, d)$ 中的任意收敛列 $(x_{n})$ 都是 $(X, d)$ 中的Cauchy列。

但是，Cauchy列可能不收敛：例如在 $(0, 1)$ 中 $\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \cdots$ 是一个Cauchy列。

定义 (完备性): 如果度量空间 $(X, d)$ 中的任意Cauchy列都是收敛的，则我们称 $(X, d)$ 是完备的。

由于度量空间中的闭集都包含其所有序列极限点，而子度量空间中的任意Cauchy列自动是原空间中的Cauchy列，我们得出结论：

命题: 如果度量空间 $(X, d)$ 是完备的，$F \subset X$ 是闭集，则子度量空间 $(F, d)$ 也是完备的。

若 $(X, d)$ 是完备度量空间，$A$ 是 $X$ 的子集，则 $A$ 中的任意Cauchy列在 $X$ 中有极限。上述性质告诉我们，可以把 $X$ 缩小到 $\overline{A}$ ，而同样性质依然成立。易见 $\overline{A}$ 是 $X$ 中“最小的”满足该性质的子空间，因为它是 $X$ 子空间中最小的包含 $A$ 的完备度量空间。于是我们定义：

定义 (完备化): 设 $(X, d)$ 是度量空间，$(\widehat{X}, \hat{d})$ 是完备度量空间。如果存在等距嵌入 $f: X \to \widehat{X}$ 使得 $\overline{f(X)}=\widehat{X}$ ，则我们称 $(\widehat{X}, \hat{d})$ 是 $(X, d)$ 的一个完备化。

可以证明，任意度量空间都有（在等距同构意义下）唯一的完备化：

定理: 任意度量空间 $(X, d)$ 都有完备化 $(\widehat{X}, \hat{d})$ ，且在等距同构的意义下完备化是唯一的。

我们将看到，紧度量空间都是完备的。我们先证明：

命题 (列紧度量空间完备): 若度量空间 $(X, d)$ 是列紧的，则它是完备的。

证明：设 $(X, d)$ 是一个列紧度量空间。给定 $X$ 中的任意Cauchy列 $\{x_{n}\}$ ，由列紧性，可以找到 $\{x_{n}\}$ 的收敛子列 $\{x_{n_{k}}\}$ 。不妨设它收敛到 $x_{0} \in X$ 。再根据Cauchy列的定义和三角不等式，易证 $x_{n} \to x_{0}$ 。 $\square$

4.1.6 完备 = 绝对闭

定义 (绝对闭): 我们称度量空间 $(X, d_{0})$ 是绝对闭的，如果它满足以下更强的闭性条件：对于任意度量空间 $(Y, d)$ ，若 $f:(X, d_{0}) \to (Y, d)$ 是一个等距嵌入（在映射之后对应点之间的距离不变），则 $f(X)$ 在 $Y$ 中是闭集。

事实上，绝对闭并不是一个新概念：

命题 (绝对闭 = 完备): 一个度量空间是绝对闭的当且仅当它是完备的。

证明：如果 $(X, d_{0})$ 满足绝对闭条件，并且 $\{x_{n}\}$ 是 $(X, d)$ 中的Cauchy列。则通过将 $(X, d_{0})$ 嵌入到其完备化 $(\widehat{X}, \hat{d})$ 中并将像点与原像 $x \in X$ 等同起来，我们得出 $\{x_{n}\}$ 是 $(\widehat{X}, \hat{d})$ 中的一个Cauchy列。由于 $(\widehat{X}, \hat{d})$ 是完备的，$x_{n}$ 收敛到唯一的 $\tilde{x} \in (\widehat{X}, \hat{d})$ 。但 $(X, d)$ 在 $(\widehat{X}, \hat{d})$ 中是闭的，故 $\tilde{x} \in X$ 。所以 $(X, d)$ 是完备的。

反之假设 $(X, d)$ 是完备的，并且 $(X, d)$ 可以等距嵌入到 $(Y, d_{Y})$ 。则作为 $(Y, d_{Y})$ 的子集，$X$ 包含其所有序列极限点，因此在 $(Y, d_{Y})$ 中是闭的。 $\square$

所以我们对度量空间的完备性有了新的解释：“完备” = “作为子空间总是闭的”。

注意到，任意等距嵌入一定是连续的映射，在连续映射下，紧/列紧集的像是紧/列紧的，度量空间中紧/列紧集都是闭集。因此我们得出结论：任意紧/列紧的度量空间都是绝对闭的，即完备的。于是我们得到：

命题 (紧/列紧度量空间完备): 若度量空间 $(X, d)$ 是紧的或列紧的，则它是完备的。

4.2 度量空间中各种紧性的等价性

经过上面的铺垫，现在我们可以研究各种紧性之间的关系了：

4.2.1 度量空间中极限点紧 $\Leftrightarrow$ 列紧

我们已经看到，对于一般拓扑空间而言，

$紧 \Rightarrow 极限点紧 \Leftarrow 列紧$

。 对于度量空间，我们的第一个观察是：

命题 (度量空间：极限点紧 $\Leftrightarrow$ 列紧)： 度量空间 $(X, d)$ 是极限点紧的当且仅当它是列紧的。

证明：只需证明若 $(X, d)$ 是极限点紧，则它是列紧的。设 $\{x_{n}\}$ 是 $(X, d)$ 中的任意点列。如果集合 $A = \{x_{n} | n \in \mathbb{N}\}$ 是有限集，那么由鸽笼原理，$\{x_{n}\}$ 有一个常值子列

$x_{n_{1}} = x_{n_{2}} = \cdots = x_{0}$

，这是我们正在需要的收敛子列。 现在假设集合 $A = \{x_{n} | n \in \mathbb{N}\}$ 是一个无限集，那么由极限点紧性，$A' \neq \varnothing$ 。取任意 $x_{0} \in A'$ 。根据定义，对于任意 $k \in \mathbb{N}$ 我们有

$B(x_{0}, 1 / k) \cap (A \setminus \{x_{0}\}) \neq \varnothing$

。事实上每个 $B(x_{0}, 1 / k) \cap (A \setminus \{x_{0}\})$ 都是一个无限集。否则，如果存在 $k$ 使得

$B(x_{0}, 1 / k) \cap (A \setminus \{x_{0}\}) = \{x_{m_{1}}, \cdots, x_{m_{k}}\}$

，则我们取 $N$ 足够大使得 $1 / N < \min (d(x_{0}, x_{m_{k}}))$ 。那么

$B(x_{0}, 1 / N) \cap (A \setminus \{x_{0}\}) = \varnothing$

，矛盾。所以我们可以找到 $n_{1} < n_{2} < \cdots$ 使得 $x_{n_{k}} \in B(x_{0}, 1 / k)$ 。显然子列 $x_{n_{k}} \to x_{0}$ 。 $\square$

同样我们还可以得到：

命题 (极限点紧 $\Leftrightarrow$ 列紧)： 如果拓扑空间 $X$ 是Hausdorff并且第一可数的，那么在 $X$ 中的子集是极限点紧的当且仅当它是列紧的。

4.2.2 列紧 $\Leftrightarrow$ “完全有界且绝对闭”

现在我们给出“在 $\mathbb{R}^m$ 中紧 $\Leftrightarrow$ 有界闭”的正确推广：对于一般的度量空间，我们需要将“闭”替换为“绝对闭”并将“有界”替换为“完全有界”，即：

命题 (度量空间：列紧 $\Leftrightarrow$ “完全有界且绝对闭”)： 度量空间 $(X, d)$ 是列紧的当且仅当它是完备的且完全有界的。

证明：我们已经证明，列紧的度量空间都是完备且完全有界的。现在假设 $(X, d)$ 是完备且完全有界的，设 $\{x_{n}\} \subset X$ 是一个点列。因为 $X$ 是完全有界的，我们可以用有限个半径为1的开球覆盖 $X$ 。那么在这个有限覆盖中存在一个球 $B_{1}$ 使得指标集

$J_{1} := \{n \in \mathbb{N} | x_{n} \in B_{1}\}$

是一个无限集。接着我们用有限多个半径为 $\frac{1}{2}$ 的开球覆盖 $X$ 。在这个新的有限覆盖中再次存在一个球 $B_{2}$ ，使得指标集

$J_{2} := \{n \in J_{1} | x_{n} \in B_{2}\}$

是一个无限集。继续这个构造，我们得到一个递降的指标序列

$\mathbb{N} \supset J_{1} \supset J_{2} \supset \cdots$

，其中每个 $J_{k}$ 是一个无限集，并且，

$i, j \in J_{k} \Rightarrow d(x_{i}, x_{j}) < \frac{2}{k}$

。 最后我们取 $n_{i} \in J_{i}$ 使得 $n_{1} < n_{2} < \cdots$ ，则 $\{x_{n_{i}}\}$ 是 $\{x_{n}\}$ 的一个子列，且是一个Cauchy列。由 $(X, d)$ 的完备性，$\{x_{n_{i}}\}$ 收敛到某个点 $x_{0} \in X$ 。所以 $(X, d)$ 是列紧的。 $\square$

4.3 度量空间中紧性的不同刻画的等价性

最后我们将上面所有的结论加以整合，得到我们最终的结论：

定理 (度量空间中各种紧性的等价性) 在度量空间 $(X, d)$ 中，以下“紧性”都是等价的：

(1) $A$ 是紧的。

(2) $A$ 是列紧的。

(3) $A$ 是极限点紧的。

(4) $A$ 是完全有界且完备的。

(5) $A$ 是可数紧的。

证明：大部分内容在前述已经证明。下面证明在度量空间中 $(2) \Rightarrow (1)$ 。假设 $A \subset (X, d)$ 是列紧的，并且设 $\mathscr{U}$ 是 $A$ 的任意开覆盖。一方面，根据Lebesgue数引理，存在一个Lebesgue数 $\delta > 0$ ，使得任何半径小于 $\delta$ 的集合都可以被 $\mathscr{U}$ 中的开集所覆盖。另一方面，根据由于 $A$ 是完全有界的，因此可以被有限多个 $\frac{\delta}{2}$ -球覆盖。由此可见 $\mathscr{U}$ 有一个有限的子覆盖。 $\square$

五、总结

本文围绕紧性展开了深入且全面的研究。首先追溯紧性的历史，明确其概念的起源与发展过程中不同数学家的贡献及观点分歧。在拓扑空间中，系统地给出紧性相关定义、例子，深入分析各种紧性之间的关系，并通过闭集、基和子基等不同方式对紧性进行刻画，同时研究了紧集在多种情况下的性质。在度量空间方面，详细探讨了度量空间的拓扑与非拓扑性质，如第一可数性、Hausdorff 性质、有界性、完全有界性、完备性等，证明了度量空间中多种紧性的等价性。

六、参考文献

1. 王作勤. “拓扑学”. 中国科学技术大学数学科学学院，http://staff.ustc.edu.cn/~wangzuoq/Courses.
2. 程其襄，张奠宙，胡善文，薛以锋. (2019). 实变函数与泛函分析基础 (第 4 版). 高等教育出版社.
3. Munkres, J. R. (2006). 拓扑学. 机械工业出版社.
4. Rudin, W. (2004). 泛函分析. 机械工业出版社.
5. 阿姆斯特朗，M. A., 孙以丰（译）. (2019). 基础拓扑学 (2 版，修订版). 人民邮电出版社.
6. 尤承业. (1997). 基础拓扑学讲义. 北京大学出版社.
7. Wikipedia.（n.d.）. 拓扑空间 . [维基百科][https://zh.wikipedia.org/wiki/拓扑空间]
8. CSDN ,集合论基本概念——紧致性(compact或compactness)