smiling数学分析（一）小论文2024.12
一、摘要
本文着眼于若干有趣的关于π\piπ 的数项级数，并就他们的背景，证明，性质等进行分析。同时，还对一些常见的级数变换进行了整理归纳，并通过若干例子阐释了其应用。
第二至五部分，我们分别探讨若干个有关π\piπ的数项级数，在第六至七部分我们就两种常见的级数变换进行说明。
二、巴塞尔问题中的级数
∑i=1∞1n2=1+122+132+142⋅⋅⋅=π26\sum\limits_{i=1}^{\infty}\frac{1}{n^2} = 1 + \frac{1}{2^2} +\frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} ··· = \frac{\pi^2}{6}
i=1∑∞n21=1+221+321+421⋅⋅⋅=6π2
2.1 巴塞尔问题的提出：
巴塞尔问题是由数学家彼得罗・门戈利在 1644 年提出，1735 年由莱昂哈德・欧拉解决。问题的核心就是求自然数平方的倒数之和，即求解∑i=1∞1n2\sum\limits_{i=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}i=1∑∞n21。
...
——Smiling
0 前言
本笔记写于2025年年初，为应对程序设计与数据结构-1的期末考试而写。主要针对的是在各类复习资料以及历年上交各班的期末考试试卷中出现的有关c++基本语法的易错点和考点，以供复习之用。
1 整形存储
1.原码（符号位+数值）
最高位为符号位，0表示正数，1表示负数，其余位表示数值的绝对值。
short int 类型的-1，其原码为 1000000000000001
2.反码
正数的反码不变。负数的反码符号位不变，其余位取反
short int 类型 -1 的反码为 1111111111111110(原码除符号位外按位取反)
3.补码
正数的补码与原码相同。
负数的补码是在反码的基础上加 1。
short int类型-1的补码为 1111111111111111，在内存中存储为0xFFFF(十六进制表示的补码形式)。
2 运算符
1.优先级
！最高，（），算术运算符，关系表达式（>，!=等），&&，||，赋值运算符（=，+=，*=等）最低
2.
大多数运算符都可以重载，但有一些运算符是不能重载的：
成员访问运算符（.）
成员...
PDF版本 ：哥德尔不完全性定理
在关于完备性的讨论中，我们最终得到了只要有Φ⊢Φ\Phi \vdash \varPhiΦ⊢Φ成立，那么它当且仅当Φ⊨Φ\Phi \models \varPhiΦ⊨Φ。也就是说，在一阶逻辑上，所有机械地在语法上证明成立的命题恰好就是在语义上可以由Φ\PhiΦ中的命题推出的。而我们意识到，有时Φ⊢Φ\Phi \vdash \varPhiΦ⊢Φ（或等价地，Φ⊨Φ\Phi \models \varPhiΦ⊨Φ）是否成立本身就是一个难以判定的问题。以自然数为例，对于自然数我们构建地非常完善的一个公理系统称为皮亚诺算术，它包括了六条基本的加法和乘法法则以及归纳法这一条准则。如今我们发现，由皮亚诺公理出发所能证明的所有命题并不就是所有自然数上的真命题，我们能够证明存在一个自然数上的真命题，既不能被皮亚诺算术证真也不能被皮亚诺算术证伪。这就是不完全性的一个例子。一般地，我们说当Φ\PhiΦ满足了一些条件时，就会出现一个命题Φ\varPhiΦ，使得Φ⊢Φ\Phi\vdash\varPhiΦ⊢Φ和Φ⊬Φ\Phi \not\vdash \varPhiΦ⊢Φ都不成...
PDF版本：一阶逻辑的完备性
每一套严格的数学理论(theory)都应当具有这样的形式：有若干条假定成立的公理，每一条定理都由公理推导而来。用来说明一个定理是怎样从公理推导而来的论证称为一个“证明(proof)”。然而，在各个数学领域中可以在证明中使用的演绎规则往往是没有严格规定的，换言之数学证明是基于自然语言的。因此，数学的形式化的下一个任务就是如何形式地定义“证明”的概念。
在定义了一阶逻辑的语法和语义之后，我们已经可以用一阶逻辑来表示许多数学的公理或定理了。并且我们强调，虽然还没有说明具体怎么做到，原则上一阶逻辑是可以表示所有数学定理的。对于每个特定的数学理论，我们会选定一个符号集SSS和一个interpretationIII。公理是SSS-formula集合Φ\PhiΦ，满足I⊨ΦI\models \PhiI⊨Φ（Φ\PhiΦ中的formula往往都是sentence）。每个满足I⊨φI\models\varphiI⊨φ的formulaφ\varphiφ就称为该理论中的一个定理。在这里，为什么能由I⊨ΦI\models \PhiI⊨Φ推出I⊨φI\models \varp...
PDF版本：一阶逻辑的语法与语义
一个数学定理是由公理出发经过正确的逻辑推导得出的一个结论。我们希望这整个过程是尽可能精确而严格的，因此这整个过程最好是能够被形式化(formalize)的。数学的形式化一方面能够帮助检查数学自身的严格性，一方面也是在计算机上做数学证明的基础。为此我们要定义一套形式语言来描述公理、证明与定理。
一阶逻辑的语法(Syntax)
我们将会建立的这套形式语言称为一阶语言(first-order language)或一阶逻辑(first-order logic)。对于一个集合，我们把集合的元素(elements)称为一阶对象(first-order objects)，它们是构成集合的最基本要素。一阶对象的集合也即子集称为二阶对象(second-order objects)，相应地二阶对象的集合构成三阶对象，等等。一阶语言规定我们在量词中只能提到一阶对象，例如我们可以说“对于集合AAA中的每个元素，……”，但不能直接说“对于集合AAA的每个子集，……”。这意味着一阶逻辑能够直接表达的数学定理是有限的，有许多涉及高阶两次的数学定理是不能直接翻译为一阶逻辑的。然...
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